দিক রাশির যোগ, বিয়োগ, গুন ইত্যাদি কোন নিয়ম অনুযয়ী হয়?

 দিক রাশির (ভেক্টর রাশির) যোগ, বিয়োগ, গুণ ইত্যাদি নির্দিষ্ট গাণিতিক নিয়মের অধীনে সম্পন্ন হয়। ভেক্টর রাশির গণনা সাধারণ স্কেলার রাশির তুলনায় কিছুটা আলাদা, কারণ ভেক্টরের আছে দুটি বৈশিষ্ট্য — পরিমাণ (magnitude) এবং দিক (direction)। নিচে বিভিন্ন অপারেশনের নিয়মগুলো তুলে ধরা হলো:

1. দিক রাশির যোগফল (Vector Addition):

ভেক্টর যোগ করতে গেলে দুইটি নিয়ম অনুসরণ করতে হয়:

(ক) সামন্তরিক সূত্র (Parallelogram Law):

দুটি ভেক্টরের একটি সাধারণ প্রান্ত থেকে সামন্তরিকের দুইটি বাহু হিসেবে বর্ণনা করা হলে, তাদের যোগফল হবে সেই সামন্তরিকের কর্ণ।

$$\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}$$

এখানে, $\vec{A}$ এবং $\vec{B}$ এর যোগফল $\vec{R}$ হবে।

(খ) ত্রিভুজ সূত্র (Triangle Law):

যদি একটি ভেক্টরকে অন্যটির শেষে যোগ করা হয় (অর্থাৎ, একটির শেষ বিন্দুতে আরেকটি শুরু হয়), তবে তাদের যোগফল হবে প্রথম ভেক্টরের শুরু বিন্দু এবং দ্বিতীয় ভেক্টরের শেষ বিন্দুর মধ্যে থাকা ভেক্টর।

উদাহরণ:

ধরা যাক দুটি ভেক্টর $\vec{A}$ এবং $\vec{B}$ এর মধ্যবর্তী কোণ $\theta$। তাদের যোগফলের পরিমাণ হবে:

$$|\vec{R}| = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB\cos \theta}$$

2. দিক রাশির বিয়োগ (Vector Subtraction):

দুটি ভেক্টরের বিয়োগ করা হয় একটিকে অন্যটির বিপরীত ভেক্টর দিয়ে যোগ করে। অর্থাৎ, $\vec{A}$ থেকে $\vec{B}$ বিয়োগ করতে চাইলে $\vec{B}$-এর বিপরীত ভেক্টর $-\vec{B}$ যোগ করতে হবে:

$$\vec{R} = \vec{A} - \vec{B} = \vec{A} + (-\vec{B})$$

এখানে $-\vec{B}$ হলো $\vec{B}$-এর বিপরীত ভেক্টর।

3. দিক রাশির গুণফল:

ভেক্টরের গুণফলের প্রধানত দুটি ধরন রয়েছে:

(ক) ডট প্রডাক্ট (Dot Product বা Scalar Product):

ডট প্রডাক্ট হলো দুইটি ভেক্টরের গুণফল, যা একটি স্কেলার রাশি দেয়। এর মান হয়:

$$\vec{A} \cdot \vec{B} = |A| |B| \cos \theta$$

এখানে $\theta$ হলো দুইটি ভেক্টরের মধ্যে কোণ। ডট প্রডাক্ট একটি স্কেলার মান দেয় এবং এর ফলাফলে ভেক্টরের দিক থাকে না।

(খ) ক্রস প্রডাক্ট (Cross Product বা Vector Product):

ক্রস প্রডাক্ট হলো দুইটি ভেক্টরের গুণফল, যা একটি নতুন ভেক্টর তৈরি করে। এর মান হয়:

$$\vec{A} \times \vec{B} = |A| |B| \sin \theta \hat{n}$$

এখানে $\hat{n}$ হলো নতুন ভেক্টরের দিক নির্দেশক ইউনিট ভেক্টর, যা $\vec{A}$ এবং $\vec{B}$-এর উপর লম্ব (perpendicular)।

4. স্কেলারের সাথে ভেক্টরের গুণফল:

যদি কোনো ভেক্টরকে একটি স্কেলার মান দিয়ে গুণ করা হয়, তবে ভেক্টরের পরিমাণ পরিবর্তিত হয়, কিন্তু দিক অপরিবর্তিত থাকে (যদি স্কেলার ধনাত্মক হয়)।

$$k\vec{A} = (k|A|)\hat{A}$$

এখানে $k$ হলো স্কেলার মান, এবং $\vec{A}$ এর দিক অপরিবর্তিত থাকবে।

সংক্ষেপে:

• যোগ: সামন্তরিক সূত্র বা ত্রিভুজ সূত্র অনুযায়ী হয়।
• বিয়োগ: একটির বিপরীত ভেক্টর নিয়ে যোগ করে।
• ডট প্রডাক্ট: স্কেলার মান দেয়, যা $\cos \theta$ দ্বারা নির্ধারিত।
• ক্রস প্রডাক্ট: ভেক্টর মান দেয়, যা $\sin \theta$ এবং নতুন দিক দ্বারা নির্ধারিত।
• স্কেলার গুণ: ভেক্টরের আকার পরিবর্তিত হয়, দিক অপরিবর্তিত থাকে (ধনাত্মক স্কেলার হলে)।