দুটি ভেক্টর রাশির মান কখন সর্বনিম্ন হয়?

 দুটি ভেক্টর রাশির মান তাদের ডট প্রডাক্ট বা ক্রস প্রডাক্ট ব্যবহার করে বিশ্লেষণ করা হলে, তাদের সর্বনিম্ন মান নির্ভর করে ভেক্টরগুলোর মধ্যে কোণের ওপর। আসুন, আলাদাভাবে এই দুটি ক্ষেত্রে দেখি:

1. ডট প্রডাক্ট (Scalar Product) ক্ষেত্রে:

ডট প্রডাক্ট দুটি ভেক্টরের মান এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণের কসমাইন ব্যবহার করে নির্ণয় করা হয়:

$$A \cdot B = |A| |B| \cos \theta$$

এখানে $\theta$ হলো দুটি ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ, $|A|$ এবং $|B|$ হলো ভেক্টরগুলোর মান (magnitude)।

• সর্বনিম্ন মান: ডট প্রডাক্ট সর্বনিম্ন হবে যখন $\theta = 180^\circ$, অর্থাৎ দুটি ভেক্টর পরস্পরের বিপরীত দিকে থাকে। এ অবস্থায় $\cos 180^\circ = -1$, ফলে ডট প্রডাক্ট হবে: $$A \cdot B = -|A| |B|$$ যা সর্বনিম্ন মান।

2. ক্রস প্রডাক্ট (Vector Product) ক্ষেত্রে:

ক্রস প্রডাক্ট দুটি ভেক্টরের মান এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণের সাইন ব্যবহার করে নির্ণয় করা হয়:

$$A \times B = |A| |B| \sin \theta$$

এখানে $\theta$ হলো দুটি ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ।

• সর্বনিম্ন মান: ক্রস প্রডাক্টের সর্বনিম্ন মান হয় যখন $\theta = 0^\circ$ অথবা $\theta = 180^\circ$, অর্থাৎ ভেক্টর দুটি যখন একই বা বিপরীত দিকে থাকে। এ সময় $\sin 0^\circ = 0$ এবং $\sin 180^\circ = 0$, ফলে ক্রস প্রডাক্ট হবে: $$A \times B = 0$$ যা সর্বনিম্ন মান।

সংক্ষেপে:

• ডট প্রডাক্টের ক্ষেত্রে দুটি ভেক্টর পরস্পরের বিপরীত দিকে থাকলে মান সর্বনিম্ন হবে, এবং মান হবে $-|A| |B|$।
• ক্রস প্রডাক্টের ক্ষেত্রে দুটি ভেক্টর একই দিকে বা বিপরীত দিকে থাকলে মান সর্বনিম্ন হবে, এবং মান হবে শূন্য।